Download e-book for iPad: Zahlen für Einsteiger: Elemente der Algebra und Aufbau der by Jürg Kramer

By Jürg Kramer

ISBN-10: 3528032235

ISBN-13: 9783528032234

ISBN-10: 3528072881

ISBN-13: 9783528072889

ISBN-10: 3834894230

ISBN-13: 9783834894236

Dieses Buch richtet sich an Mathematikstudierende der ersten Semester und vermittelt einen ersten Einstieg in Elemente der Zahlentheorie und Algebra. Ausgehend von den natürlichen Zahlen werden systematisch die ganzen, rationalen, reellen, komplexen Zahlen konstruiert. Dazu werden jeweils die aus der Algebra benötigten Grundlagen bereitgestellt und unmittelbar angewendet. Zählen gehört zu einem der Uranliegen der Menschheit und die Entwicklung von Zahl- und Ziffernbegriffen nimmt in jeder Zivilisation ihren speziellen Platz ein. Die systematische Vermittlung des Zahlbegriffs erfolgt in einem wesentlichen Maße durch die Schule. Es ist Ziel und Hauptanliegen dieses Buches, Studierenden, und hierbei vor allem Lehramtsstudierenden, eine systematische Einführung in den Aufbau der Zahlbereiche von einem mathematisch-fachwissenschaftlichen Standpunkt aus mit Blick auf fachdidaktische Bezüge anzubieten.

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9. Jede natürliche Zahl a > 1 besitzt mindestens einen Primteiler p ∈ P, d. h. es existiert eine Primzahl p mit p | a. Beweis. Wir betrachten die folgende, von a abhängige Menge T ( a) := {b ∈ N | b > 1 mit b | a}. Da a ∈ T ( a) gilt, ist die Menge T ( a) nicht leer. 18) besitzt T ( a) als nicht-leere Teilmenge von N ein kleinstes Element, das wir mit p bezeichnen; konstruktionsgemäß gilt p > 1. Wir zeigen nun, dass p eine Primzahl ist. Wäre im Gegensatz zu dieser Behauptung p keine Primzahl, so besäße p 26 I Die natürlichen Zahlen und ihre Teilbarkeitslehre einen nicht-trivialen Teiler q, d.

A n . 42 I Die natürlichen Zahlen und ihre Teilbarkeitslehre 5. Division mit Rest Es seien a, b natürliche Zahlen; wir nehmen für den Moment an, dass b < a gilt. Wir betrachten nun die Vielfachen 1 · b, 2 · b, 3 · b, . . von b. Anschaulich ist klar, dass wir nach endlich vielen Schritten zu einem Vielfachen von b gelangen, das echt größer als b ist, d. h. das vorhergehende Vielfache ist kleiner oder gleich b. In Formeln ausgedrückt bedeutet dies, dass sich natürliche Zahlen q, r finden, so dass a = q·b+r mit 0 ≤ r < b gilt.

Es seien a, b natürliche Zahlen, die nicht beide zugleich Null sind. Eine natürliche Zahl d mit den beiden Eigenschaften (i) d | a und d | b, d. h. d ist gemeinsamer Teiler von a, b; (ii) für alle x ∈ N mit x | a und x | b, folgt x | d, d. h. jeder gemeinsame Teiler von a, b teilt d, heißt größter gemeinsamer Teiler von a und b. 2. Wir bemerken, dass der größte gemeinsame Teiler von a und b eindeutig festgelegt ist. Dazu seien d1 , d2 größte gemeinsame Teiler von a und b. 1 erkennen wir d1 | d2 , d.

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by Kenneth
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