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Daß der Teilerkettensatz aus dem Basissatz folgt, sieht man so: Es sei Ul , U2' ua ' . •• eine unendliche Kette und stets Ui ~ ui + 1 . 1 aller Ideale Ui ist ein Ideal. 1. 1. 1 hat nach Voraussetzung eine Basis (al' ... , ar ). Jedes ai liegt in einem Ideal uni' Ist n die größte der Zahlen ni' so liegen a l , . . 1 linear von a l , . . 1 in Un , und daraus folgt Umgekehrt folgt der Basissatz aus dem Teilerkettensatz (Auswahlpostulat vorausgesetzt). Nämlich: Auf Grund des Auswahlpostulats (§ 58) denke man sich in jeder nichtleeren Untermenge von 0 ein Element ausgezeichnet.

Weiter gilt: Wenn das Ideal m eine isolierte einartige Primärkomponente q besitzt, deren zugehöriges Primideal V und deren Exponent (! : (2) q = (m, -l'a). Beweis: Aus m =0 (q) und -l'a=O(q) schließt man (m, pa) = 0 (q) . (3) Andererseits sei m = [q, q2' ... ] eine Darstellung von m durch Primärkomponenten. Das Ideal (m, pU) ist einartig, also primär; das zugehörige Primideal ist p. Das Produkt q qs' .. q. ist durch (m, pU) teilbar; aber q2' .. q. ist, da q als isoliert angenommen war, nicht durch p teilbar; also muß q durch (m, va) teilbar sein: (4) q = 0 (m, pU) .

2. Man zeige die Äquivalenz der drei Behauptungen: a) o:ol=a und b) a: [01/\ O2] = c) a: 01 o. = a. a; a:0 2 =a: 31 § 82. Primideale und Primärideale. § 82. Primideale und Primärideale. Schon früher haben wir Primideale definiert als solche Ideale, deren Restklassenring keine Nullteiler hat. Im Bereich der ganzen Zahlen ist jede ganze Zahl a > 0 Produkt von Potenzen verschiedener Primzahlen (I) a = Pf' ... ", und demnach jedes Ideal (a) Produkt von Primidealpotenzen : (a) = (Pl)Q, ... (Pr)Qr. In allgemeineren Ringen kann man nicht erwarten, daß die Zerlegungsgesetze der Ideale so einfach sind.

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by Daniel
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