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17) Definition: Es sei G eine abelsche Gruppe, und es sei U eine Untergruppe von G. Die abelsche Gruppe G j U mit der Verknupfung ([a]u, [b]u) r---t [ab]u: GjU x GjU -+ GjU heiBt die Faktorgruppe von G nach U. 18) Bemerkung: Die in diesem Paragraphen zusammengestellten Ergebnisse aus der Theorie der endlichen abelschen Gruppen werden in den folgenden Kapiteln immer wieder verwendet. Naheres dazu und den sonst in diesem Buch benotigten Begriffen aus der Algebra findet man in jedem Lehrbuch der Algebra, zum Beispiel in Artin [7] oder in Scheja-Storch [99].

Pepin 1877 angegeben hat: Fur eine naturliche Zahl n ist F( n) dann und nur dann eine Primzahl, wenn 3(F(n)-1)/2 == -1 (mod F(n)) gilt. 24). Fermat-Zahlen, die Primzahlen sind, spielen ubrigens bei der Frage nach der Konstruierbarkeit von regelmafiigen Vielecken eine Rolle: Wie Gaufi bewiesen hat, ist fUr eine ungerade Primzahl p das einem Kreis yom Radius 1 einbeschriebene regelmafiige p-Eck genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn peine Fermat-Zahl ist (vgl. dazu Artin [7], Kap. XIII, §4, oder Lorenz [65], § 11).

G heiBt eine zyklische Gruppe, wenn es ein a E G mit G = (a) gibt. 1st G zyklisch, so heiBt jedes a E G mit G = (a) ein erzeugendes Element von G. 9) Bemerkung: (1) Zyklische Gruppen sind abelsch (vgl. 2)(2)). (2) Eine endliche Gruppe Gist genau dann zyklisch, wenn es ein a E G mit ord(a) = #(G) gibt. (3) Es sei G eine endliche zyklische Gruppe, es sei n die Ordnung von G, und es sei a ein erzeugendes Element von G. Dann gilt ord( a) = n und G = {ee,a,a 2 , ... ,a n - l } (vgl. 5)(1)), und das Rechnen in G erfolgt so: Sind x, y E G, so gibt es eindeutig bestimmte i, j E {O, 1, ...

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