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By Anthony J. Pettofrezzo

ISBN-10: 0486636348

ISBN-13: 9780486636344

Textual content stresses use of matrices in research of differences of the airplane. Familiarizes reader with position of matrices in summary algebraic structures and illustrates its potent use as mathematical device in geometry. contains proofs of such a lot theorems. solutions to odd-numbered exercises.

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Daß der Teilerkettensatz aus dem Basissatz folgt, sieht man so: Es sei Ul , U2' ua ' . •• eine unendliche Kette und stets Ui ~ ui + 1 . 1 aller Ideale Ui ist ein Ideal. 1. 1. 1 hat nach Voraussetzung eine Basis (al' ... , ar ). Jedes ai liegt in einem Ideal uni' Ist n die größte der Zahlen ni' so liegen a l , . . 1 linear von a l , . . 1 in Un , und daraus folgt Umgekehrt folgt der Basissatz aus dem Teilerkettensatz (Auswahlpostulat vorausgesetzt). Nämlich: Auf Grund des Auswahlpostulats (§ 58) denke man sich in jeder nichtleeren Untermenge von 0 ein Element ausgezeichnet.

Weiter gilt: Wenn das Ideal m eine isolierte einartige Primärkomponente q besitzt, deren zugehöriges Primideal V und deren Exponent (! : (2) q = (m, -l'a). Beweis: Aus m =0 (q) und -l'a=O(q) schließt man (m, pa) = 0 (q) . (3) Andererseits sei m = [q, q2' ... ] eine Darstellung von m durch Primärkomponenten. Das Ideal (m, pU) ist einartig, also primär; das zugehörige Primideal ist p. Das Produkt q qs' .. q. ist durch (m, pU) teilbar; aber q2' .. q. ist, da q als isoliert angenommen war, nicht durch p teilbar; also muß q durch (m, va) teilbar sein: (4) q = 0 (m, pU) .

2. Man zeige die Äquivalenz der drei Behauptungen: a) o:ol=a und b) a: [01/\ O2] = c) a: 01 o. = a. a; a:0 2 =a: 31 § 82. Primideale und Primärideale. § 82. Primideale und Primärideale. Schon früher haben wir Primideale definiert als solche Ideale, deren Restklassenring keine Nullteiler hat. Im Bereich der ganzen Zahlen ist jede ganze Zahl a > 0 Produkt von Potenzen verschiedener Primzahlen (I) a = Pf' ... ", und demnach jedes Ideal (a) Produkt von Primidealpotenzen : (a) = (Pl)Q, ... (Pr)Qr. In allgemeineren Ringen kann man nicht erwarten, daß die Zerlegungsgesetze der Ideale so einfach sind.

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by James

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