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By Claretta Carrara

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Per determinare il piano che li contiene abbiamo bisogno per`o di un vettore direzione −→ differente, appartenente al piano. Possiamo per esempio determinare il vettore direzione AC (in quanto A e C appartengono al piano cercato): −→ AC = (1, 1, 0) Infine il piano π che contiene r e s ha equazione parametrica:   x = −2t + s ∀s, t ∈ R π: y = −t + s   z =1−t 2. SOLUZIONI 29 Per ricavare l’equazione cartesiana basta eliminare i parametri s e t:     t = 1 − z t = 1 − z ⇒x−y−z+1=0 x = −2 + 2z + s ⇒ s = x + 2 − 2z     y = −1 + z + x + 2 − 2z y = −1 + z + s b) Un vettore perpendicolare al piano π ha componenti proporzionali ai cofficienti della x, y e z dell’equazione cartesiana di π, ovvero (1, −1, −1) (o un suo multiplo).

C) Determiniamo la retta s per P ortogonale a π, cio`e di direzione (1, 0, −1):   x = 1 + t s: y=2   z = −t La proiezione ortogonale dell’origine sul piano π `e quindi l’intersezione di s con π:    x=1+t x=1+t x = 12          y = 2 y = 2 y = 2 ⇒ ⇒    z = 12 z = −t z = −t          t = − 21 x−z =0 1+t+t=0 Infine la proiezione cercata `e il punto D 1 1 2 , 2, 2 . 18. Si considerino i piani π1 , π2 , π3 di equazioni π1 : z − 3 = 0 π2 : x + y + 2 = 0 π3 : 3x + 3y − z + 9 = 0 e la retta r = π1 ∩ π2 .

Sia A = (1, 1, 3) il punto di r, imponendo inoltre le condizioni di parallelismo alle due rette, otteniamo:  x = 1 + t − s  π : y =1−t+s ⇒ x+y =2   z = 3 + 2s c) Si pu` o procedere in pi` u modi. Forse il pi` u semplice `e calcolare il piano π ′ passante per s e parallelo a r in maniera analoga al punto precedente. Sia B = (1, 0, −1) il punto di s:   x = 1 + t − s ′ ⇒ x+y =1 π : y = −t + s   z = −1 + 2s Il piano cercato `e parallelo a π e π ′ , quindi ha una equazione del tipo x + y = d.

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by David
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