Download e-book for iPad: Diskrete Strukturen 1: Kombinatorik, Graphentheorie, Algebra by Angelika Steger

By Angelika Steger

ISBN-10: 3540466606

ISBN-13: 9783540466604

ISBN-10: 3540675973

ISBN-13: 9783540675973

Dieses Lehrbuch umfaßt einen Kanon von Themen, der an vielen Universitäten unter dem Titel ''Diskrete Strukturen'' fester Bestandteil des Informatik-Grundstudiums geworden ist. Bei der Darstellung wird neben der mathematischen Exaktheit besonderer Wert darauf gelegt, auch das intuitive Verständnis zu fördern, um so das Verstehen und Einordnen des Stoffs zu erleichtern. Unterstützt wird dies durch zahlreiche Beispiele und Aufgaben, vorwiegend aus dem Bereich der Informatik. Das Lehrbuch basiert auf Vorlesungen, die seit mehreren Jahren an der Technischen Universität München gehalten werden. Themen: Kombinatorik, Graphentheorie, Algorithmische Grundprinzipien, Rekursionsgleichungen, Algebra.

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K OMBINATORIK gemäß Dn = n! − ξn . Bezeichnen wir mit Ai die Menge der Bijektionen π : [n] → [n] mit π(i) = i, so ergibt sich für ξn mit Hilfe der Siebformel: n n i=1 r (−1)r−1 Ai = ξn = Aij . 1≤i1 <···

Eine Bézierkurve wird durch Stützstellen P1 , . . , Pn beschrieben. Die Kurve beginnt in P1 und endet in Pn . 3 W ICHTIGE Z ÄHLPROBLEME 31 aber im Allgemeinen selbst nicht auf der Kurve. Formal ist die Bézierkurve definiert als n Bn,i (t) · Pi , P (t) := wobei t ∈ [0, 1]. i=1 Die Koeffizienten Bn,i (t) sind die so genannten Bernsteinpolynome, benannt nach dem ukrainischen Mathematiker S ERGEI B ERNSTEIN (1889–1968). Sie sind definiert als n Bn,i (t) := i · ti · (1 − t)n−i . Die folgende Abbildung zeigt den Verlauf der Bernsteinpolynome für n = 4.

Wir wissen bereits, dass es n! verschiedene Permutationen der Menge [n] gibt. Die Anzahl der Zyklen einer Permutation kann zwischen 1, wie in der Permutation (1 2 . . n), und n, wie in der Permutation (1)(2) . . (n), variieren. Wenn wir mit sn,k die Anzahl Permutationen mit genau k Zyklen ben zeichnen, muss also k=1 sn,k = n! gelten. Die Zahlen sn,k heißen Stirlingzahlen erster Art. Statt der Bezeichnung sn,k wird zuweilen auch die Notation nk verwendet. Wir betrachten zunächst wieder einige Spezialfälle.

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by Donald
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