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By Thomas Deck

ISBN-10: 3540253920

ISBN-13: 9783540253921

Dieses Buch behandelt stochastische Integrale bez?glich der Brownschen Bewegung (It?-Integrale), den daraus resultierenden It?schen Differentialkalk?l und einige Anwendungen. Das Buch zeichnet sich durch zwei Besonderheiten aus: Zum Einen sind die mathematischen Voraussetzungen minimiert, und zum Anderen wird der It?-Kalk?l in einem ersten Schritt v?llig ohne Martingale entwickelt. Dies erleichtert (insbesondere f?r Anwender) den Einstieg in die Theorie, da tiefer liegende stochastische Methoden zun?chst nicht ben?tigt werden. Erst in einem zweiten Schritt werden die engen Beziehungen zur Martingaltheorie und zur Browschen Bewegung entwickelt (Darstellungss?tze, S?tze von L?vy, Girsanov, etc.). Anwendungen auf stochastische Differentialgleichungen und Optionspreistheorie runden den textual content ab.

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N=i F¨ ur i → ∞ geht die rechte Seite gegen Null, sodass P (A) = 0 folgt. 23 (Stetige Version f¨ ur Wiener-Integrale). Sei f ∈ L2loc ([0, ∞)). Dann t besitzt ( 0 f (s) dBs )t∈[0,∞) eine stetige Version. t ur jeBeweis. 1 gen¨ ugt es zu zeigen, dass ( 0 f (s) dBs )t∈[0,T ] f¨ des (feste) T > 0 eine stetige Version besitzt. Seien hierzu fn ∈ T ([0, T ]), mit fn → f in L2 ([0, T ], λ) gew¨ahlt. 21 folgt weiter P ( max |In (t) − Im (t)| > λ) ≤ t∈[0,T ] 1 fn − fm λ2 2 L2 f¨ ur n, m → ∞. Insbesondere gibt es zu λ = 1/2k ein nk ∈ → 0, N, sodass gilt 1 1 ∀ m ≥ nk .

N. (b) E[Xi ] = 0, f¨ ur i = 1, . . , n. 5 Wiener-Integrale als stetige Prozesse 35 Dann gilt f¨ ur alle ε > 0: k P Xi Yi ≥ ε ≤ max 1≤k≤n i=1 k i=1 ⊥ Yi ist Sk := Beweis. Wegen Xi ⊥ 1 ε2 E[Xi2 Yi2 ] . 22) i=1 Xi Yi ∈ L2 (P ). 23) i=1 denn f¨ ur i < j ist Xi Yi Yj ⊥⊥ Xj , also E[Xi Yi Xj Yj ] = E[Xi Yi Yj ]E[Xj ] = 0. ur k = 2, . . , n sei Sei nun A1 := {|S1 | ≥ ε}, und f¨ Ak := {max{|S1 |, |S2 |, . . , |Sk−1 |} < ε, |Sk | ≥ ε} . Dann besteht die disjunkte Vereinigung A1 ∪ · · · ∪ An = {max{|S1 |, .

Sei (Ω, F, P ) ein W-Raum und (An )n∈N eine Folge von Ereignissen. Dann gilt ∞ P (An ) < ∞ ⇒ P ({ω ∈ Ω| ω ∈ An unendlich oft}) = 0 . n=1 ur jedes i ∈ Beweis. Sei A := {ω ∈ Ω| ω ∈ An unendlich oft}. Dann gilt f¨ ∞ at von P , A ⊂ n=i An , und hiermit, wegen der Subadditivit¨ ∞ P (A) ≤ P (An ) , ∀i ∈ N N. n=i F¨ ur i → ∞ geht die rechte Seite gegen Null, sodass P (A) = 0 folgt. 23 (Stetige Version f¨ ur Wiener-Integrale). Sei f ∈ L2loc ([0, ∞)). Dann t besitzt ( 0 f (s) dBs )t∈[0,∞) eine stetige Version.

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Der Ito-Kalkul by Thomas Deck


by Jason
4.2

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