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By Nicolas Bourbaki

ISBN-10: 354033937X

ISBN-13: 9783540339373

ISBN-10: 3540339760

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S i E est un A-module à droite fidèlement plat, COROLLAIRE. et si a est un idéal bilatère de A, le (A/a)-module à droite E / E a est fidèlement plat. On applique la prop. 5 avec B = A/a, p étant l'homomorphisme canonique. PROPOSITION 6. - Soient A un anneau cornrnutatif, B une algèbre sur A, p : a -t a . 1 l'homomorphisme canonique de A dans B. Supposons que B soit un A-module fidèlement plat. Alors, pour qu'un A-module E soit plat (resp. fidèlement plat), il faut et il sufit que le B-module à droite E(,) = E @AB soit plat (resp.

B) Dans lc A-module A2, soit R le sous-module formé des éléments (x, - x) où x E a. Dans le A-module A2/R, soient M, N les sous-modules images des sous-modules facteurs de A2 ; montrer que M et N sont isomorphes à A, mais que M n N n'est pas un A-module plat. 4) a ) Donner un exemple de suite exacte non scindée + + O+E1+E+E"-+O dont tous les termes sont des modules plats (cf. , chap. VII, § 3, exerc. 8 b)). b) Déduire de a ) un exemple d'une suite exacte non scindée dont les termes sont des A-modules à droite non plats, telle que pour t o u t A-module a gauche F, la suite O -t 13' @ F + E @ F -t E" 63 F -t O soit exacte (utiliser le lemme 2 du no 1).

Soient ( f h ) A E L une famille de générateurs de F, une famille d'éléments de E, de support fini. Pour que eh@ f~ = O, il faut et il s u f i t qu'il existe u n ensemble fini J , une AEL famille ( x ~ ) d'éléments ~ , ~ de E et une famille (aiA) ( j e J , h E L) d'éléments de A ayant les propriétés suivantes : Io la famille ( a * ~a) u n support fini ; 20 o n a C a j ~ f= ~ 0 pour tout j E J ; AEL 3O o n a eh = x j a j ~pour tout hE L. j€J (*) Les résultats de ce no ne seront pas utilisés dans le reste de ce c,hapitre, sauf au $ 3 , no 7.

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